No. 1
Carilah banyak cara menyusun kata \(SURABAYA\) sehingga tidak ada dua huruf \(A\) yang bersebelahan.
No. 2
Tentukan bilangan asli \(M\) terkecil sehingga
\[ 1+2+\cdots+M \geq 10000 .\]
No. 3
Tentukan jumlah seluruh bilangan asli \(n\) sehingga \(n^2 + 8n + 151\) merupakan bilangan kuadrat sempurna.
No. 4
Diberikan persegi \(ABCD\) dengan panjang sisi \(12\). Lingkaran \(\omega\) terletak di dalam persegi \(ABCD\) yang menyinggung keempat sisi \(ABCD\). Terdapat persegi \(EFGH\) sehingga \(E,F,G,H\) semua terletak di \(\omega\) dan \(A,B,C,D\) terletak di garis \(EF,FG,GH,HE\) berturut-turut. Jika keliling dari segitiga \(ABF\) dapat dinyatakan sebagai \(m+\sqrt{n}\) untuk bilangan asli \(m\) dan \(n\), tentukan nilai dari \(m+n\).
No. 5
Sebuah polinomial \(P\) dengan koefisien bilangan bulat taknegatif memenuhi \(P(1)=24\) dan \(P(9)=2024\). Tentukan nilai dari \(P(5)\).
No. 6
Diberikan segitiga \(ABC\) dengan panjang sisi-sisi \(AB=13\), \(BC=14\), dan \(CA=15\). Diberikan titik \(P\) di dalam segitiga \(ABC\) sehingga jarak titik \(P\) ke garis \(AB,BC,CA\) berturut-turut adalah \(x,y,z\). Jika diketahui bahwa \(x,y,z\) merupakan bilangan bulat positif, tentukan nilai minimal yang mungkin dari \(xyz\).
No. 7
Tentukan banyaknya bilangan bulat positif \(b\leqslant 1000\) sehingga terdapat bilangan bulat positif \(a\) dan \(c\) sedemikian sehingga
\[ \text{FPB}(a,b)+\text{KPK}(b,c)=\text{KPK}(c,a)^3.\]
No. 8
Diketahui bahwa pada suatu segitiga \(\triangle ABC\), terdapat titik \(D,E,F\) pada ruas garis \(BC\) secara terurut sehingga \(AD,AE,\) dan \(AF\) membagi sudut \(\angle BAC\) menjadi 4 bagian. Jika diketahui bahwa \(BD+EF=7\), \(DE+FC=11\), serta \(AB:AC=1:2\). Tentukan nilai dari \(AB^2+AC^2\).
No. 9
Misalkan \(x,y,z\) adalah bilangan real positif sehingga \(x+yz=13\) dan \(x+y+z=10\). Tentukan nilai maksimal dari
\[ \lfloor y+xz\rfloor + \lfloor z+xy\rfloor .\]
No. 10
Misalkan \((p_1,q_1),(p_2,q_2),\ldots , (p_k,q_k)\) merupakan semua pasangan terurut bilangan prima \((p,q)\) sehingga terdapat bilangan asli \(m\) dan \(n\) yang memenuhi
\[(p_i-q_i)^m=(p_i+q_i)^n.\]
Tentukan nilai dari
\[ p_1+q_1+p_2+q_2+\cdots + p_k+q_k. \]
No. 11
Diberikan himpunan enam elemen \(\mathcal{S}\), tentukan banyaknya fungsi bijeksi \(f : \mathcal{S} \to \mathcal{S} \) sehingga memenuhi
\[ f(f(f(x)))=f^{-1}(x) \]
untuk setiap \(x\in \mathcal{S}\).
No. 12
Terletak \(1001\) titik berbeda pada satu lingkaran yang akan diwarnai dengan \(k\) warna. Dua segmen dikatakan berteman jika mereka berpotongan di dalam lingkaran. Diketahui bahwa untuk setiap \(5\) segmen yang saling berteman di mana kesepuluh titik ujung nya merupakan sepuluh titik berbeda pada lingkaran, terdapat setidaknya \(3\) segmen sehingga kedua ujung segmen memiliki warna yang berbeda. Tentukan nilai minimum yang mungkin dari \(k\) sehingga pewarnaan ini mungkin.
No. 13
Tentukan nilai dari \(a+b\) terkecil jika \(a>b\) merupakan bilangan bulat positif dan koefisien binomial \(\binom{a}{b}\) merupakan kelipatan \(1000\).
No. 14
Misalkan seluruh bilangan real positif \(k\) sehingga persamaan
\[ \lfloor x \rfloor (x - \lfloor x \rfloor) = kx \]
memiliki tepat \(24\) solusi real \(x\) adalah interval \(a\le k < b\). Tentukan nilai dari \(\left\lceil \dfrac{1}{b-a} \right\rceil\).