No. 1
Tentukan banyaknya bilangan genap dari \(2026\) suku pertama dari barisan
\[ 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\ldots\]
No. 2
Diberikan bilangan real \(x\geqslant -20\) sehingga
\[ \frac{ \sqrt{x+20}+\sqrt{x+25} }{ \sqrt{x+20}+\sqrt{x+26} } = \frac{25}{26}.\]
Tentukan nilai dari
\[2025 \left(\frac{ \sqrt{x+20} - \sqrt{x+25} }{ \sqrt{x+20} - \sqrt{x+26} }\right) . \]
No. 3
Diberikan persegi panjang \(ABCD\) dengan \(E\) titik di segmen \(AB\) sehingga \(AE=26\) dan \(EB=24\). Misalkan terdapat lingkaran yang menyinggung sisi \(AB\) di \(E\), menyinggung sisi \(AD\), dan melalui titik \(C\). Tentukan luas dari \(ABCD\).
No. 4
Tentukan bilangan asli kelipatan \(25\) terkecil sehingga dalam representasi desimal, himpunan digit penyusunnya adalah \(\{0,2,6\}\).
\(\textbf{Catatan:}\) himpunan digit penyusun adalah himpunan yang memuat semua digit yang muncul pada representasi desimalnya, misalnya \(11\) memiliki himpunan digit penyusun \(\{1\}\) dan \(2026\) memiliki himpunan digit penyusun \(\{0,2,6\}\).
No. 5
Misalkan \(a,b,c\) adalah akar-akar berbeda dari persamaan
\[x^{3}-3x^{2}-25x+2 = 0.\]
Carilah nilai dari \(a^3+b^3+c^3+3abc\).
No. 6
Misalkan \(\Delta\) adalah segitiga dengan panjang sisi bulat paling luas sehingga setidaknya dua elemen dari \(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) merupakan panjang sisi dari \(\Delta\). Tentukan keliling dari \(\Delta\).
No. 7
Diberikan sebuah persegi panjang \(2\times5\) yang terbagi menjadi sepuluh sel yang berukuran \(1\times 1\). Leonardo akan mengisi kesepuluh sel tersebut dengan huruf-huruf \(R\), \(C\), \(T\), \(O\), \(P\) (tidak semuanya harus dipakai). Dua sel dikatakan bersebelahan jika mereka memiliki sisi persekutuan. Jika Leonardo tidak ingin sel yang bersebelahan memiliki huruf yang sama, ia memiliki \(N\) cara dalam mengisi kesepuluh sel tersebut. Tentukan banyak faktor positif dari \(N\).
No. 8
Misalkan terdapat polinom berkoefisien bulat \(P\) dan bilangan bulat \(a,b,c\) sehingga \(P(a)=20\), \(P(b)=25\), \(P(c)=26\). Tentukan jumlah dari semua nilai yang mungkin dari
\[ (a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2.\]
No. 9
Diberikan pasangan bilangan real taknol \((x,y)\) yang merupakan solusi dari persamaan berikut:
\[ (x+y)^2 = \frac{8}{y} \]
\[ (x-y)^2+(2y)^2 =\frac{ 35}{x}\]
Tentukan jumlah semua nilai yang mungkin dari \(x+y\).
No. 10
Untuk dua himpunan \(X\) dan \(Y\), definisikan \(X \diamondsuit Y\) sebagai himpunan semua bilangan yang bisa dinyatakan sebagai penjumlahan elemen \(X\) dan elemen di \(Y\), misalkan \(\{1,3,4\}\diamondsuit \{2,5\} = \{3,5,6,8,9\}\). Misalkan \(A,C,F,I,R,S,Y\) adalah tujuh bilangan real taknegatif sehingga
\[ \{0,1,2\} \diamondsuit \{S,A,C\} \diamondsuit \{Y,I,A\}\diamondsuit\{F,A,R\} = \{0,1,2,\ldots, 80\}. \]
Tentukan nilai dari
\[A+C+F+I+R+S+Y.\]
No. 11
Tentukan jumlah semua bilangan asli \(x\leqslant 99\) yang memenuhi
\[x^2+\binom{99}{x} \]
merupakan kelipatan \(101\).
No. 12
Diketahui bahwa \(ABC\) adalah segitiga dengan panjang sisi bilangan bulat sehingga \(\angle A=3\angle B\). Tentukan nilai minimum dari keliling \(ABC\).
No. 13
Jika \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah tiga bilangan real sedemikian hingga \(a + b + c = 15\) dan \((a - b)(b - c)(c - a) \geq 54\), tentukan nilai minimal dari \(a^2 + b^2 + c^2\).
No. 14
Diberikan segitiga \(SAC\) dengan panjang sisi \(SA=46, SC=51, AC=45\) memiliki lingkaran dalam \(\omega\) yang berpusat di \(I\). Misalkan \(\omega\) menyinggung \(AC\) di \(D\). Misalkan \(X\) adalah titik pada \(SD\) sehingga garis \(IX\) melewati titik tengah \(AC\). Tentukan nilai dari \(\left\lfloor | XC^2 - XA^2| \right\rfloor\).
No. 15
Dalam suatu turnamen tenis yang terdiri dari \(10\) pemain, setiap pemain bertanding melawan setiap pemain lainnya tepat satu kali. Pada setiap pertandingan, ada tepat satu yang menang dan satu yang kalah (tidak ada seri). Pada turnamen ini, jika pemain \(i\) memenangkan pertandingan melawan pemain \(j\), maka banyaknya pertandingan yang pemain \(i\) kalah ditambah dengan banyaknya pertandingan yang pemain \(j\) menang setidaknya \(8\). Kita mengatakan bahwa tiga pemain \(i\), \(j\), dan \(k\) (urutan tidak diperhatikan) membentuk trio \(\textit{absolute trionema}\) jika pemain \(i\) mengalahkan pemain \(j\), pemain \(j\) mengalahkan pemain \(k\), dan pemain \(k\) mengalahkan pemain \(i\). Tentukan banyaknya trio \(\textit{absolute trionema}\).
No. 16
Definisikan \(\binom{a}{b} = \frac{a!}{b!(a-b)!}\) untuk \(a\ge b\ge 0\), tentukan bilangan prima \(p>2026\) yang memenuhi
\[ \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}p\\3\end{pmatrix}\\p\end{pmatrix}\\3\end{pmatrix} -67\]
merupakan kelipatan \(p\).