Soal-soal
No. 1
Tentukan banyaknya cara menyusun huruf-huruf dari \(ABSOL\) sedemikian sehingga tidak terdapat dua huruf berurutan yang membentuk \(OA\) (misalnya, \(ABSOL\) dan \(BLAOS\) memenuhi, sementara \(SOALB\) atau \(OASBL\) tidak memenuhi).
No. 2
Tentukan nilai dari
\[ \left\lfloor \sqrt{\frac{\left(\sqrt{\tfrac{2}{1}} - \sqrt{\tfrac{1}{2}}\right)\left(\sqrt{\tfrac{4}{3}} - \sqrt{\tfrac{3}{4}}\right)\cdots\left(\sqrt{\tfrac{2024}{2023}} - \sqrt{\tfrac{2023}{2024}}\right)}{\left(\sqrt{\tfrac{3}{2}} - \sqrt{\tfrac{2}{3}}\right)\left(\sqrt{\tfrac{5}{4}} - \sqrt{\tfrac{4}{5}}\right)\cdots\left(\sqrt{\tfrac{2025}{2024}} - \sqrt{\tfrac{2024}{2025}}\right)} } \right\rfloor.\]
No. 3
Tentukan jumlah semua bilangan tiga digit \(\overline{xyz}\) di mana \(x,y,z \ne 0\) sehingga
\[\overline{xyz} = \overline{xy} + \overline{yz} + \overline{zx}.\]
No. 4
Bilangan \(x,y,z\) dipilih secara acak dari himpunan \(\{1,2,\ldots, 2025\}\) (bilangan tersebut boleh sama). Jika peluang dari \(x^2+yz\) habis dibagi \(3\) adalah \(p\), tentukan \(\left\lfloor 100p \right\rfloor\).
No. 5
Misalkan bilangan \(S\) didefinisikan sebagai
\[S = \sum_{i=0}^{48} \binom{52}{i} \cdot \binom{48}{48-i} = \binom{52}{0} \cdot \binom{48}{48} + \binom{52}{1} \cdot \binom{48}{47} + \cdots + \binom{52}{48} \cdot \binom{48}{0}.\]
Carilah sisa pembagian \(S\) oleh \(17\).
No. 6
Tentukan bilangan asli \(n\) terkecil sedemikian hingga \(n^2 + 6\) habis dibagi oleh \(210\).
No. 7
Diberikan sebuah segitiga \(ABC\) dengan \(AB = AC\). Titik \(D\) terletak di busur \(AB\) minor di lingkaran luar \(ABC\). Diketahui bahwa \(DA = DB\) dan \(\angle ADB = 105^{\circ}\). Jika \(BC = 6\), tentukan panjang jari-jari lingkaran luar \(ABC\).
No. 8
Diberikan segitiga siku-siku \(ABC\) dengan \(\angle A=90^{\circ}\) dan \(AB < AC\). Misalkan titik \(H\), \(I\), dan \(O\) berturut-turut adalah titik tinggi, titik pusat lingkaran dalam, dan titik pusat lingkaran luar segitiga \(ABC\). Apabila \(IO=IH\), tentukan besar dari \(\angle OIH\) dalam satuan derajat.
No. 9
Suatu tes pilihan ganda terdiri dari \(100\) soal, dengan poin benar \(4\) poin, salah \(-1\) poin, dan kosong \(0\) poin. Tentukan banyaknya kemungkinan nilai yang mungkin didapat suatu peserta.
No. 10
Misalkan segitiga \(ABC\) dengan \(AB = 20\) memiliki pusat lingkaran luar \(O\). Titik \(M\) adalah titik tengah \(BC\). Misalkan lingkaran luar \(AMC\) memotong garis \(OC\) lagi di \(X \ne C\). Jika \(AX\) tegak lurus \(BC\), tentukan nilai dari \(BC^2\).
No. 11
Tentukan banyaknya bilangan asli dua digit \(\overline{ab}\) dengan \(a\) dan \(b\) keduanya tidak sama dengan \(0\) sedemikian hingga
\[ \text{FPB}(\overline{ab}, \overline{ba}) > 1 .\]
No. 12
Diberikan fungsi \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\) dan \(g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) sehingga
\[f(n,a)=\min(a,(n-a)^{2025})+\max(n-a,a^{2025})\]
dan \(g(n)\) adalah nilai maksimal dari \(f(n,a)\) untuk \(0\le a\le n\) di mana \(a\) merupakan bilangan real. Tentukan sisa pembagian \(g(1)+g(2)+\cdots+g(2025)\) oleh \(2027\).
No. 13
Chipi akan meletakkan beberapa kelereng ke dalam satuan persegi di papan \(2025\times2025\) sehingga tiap satuan persegi cuma ada maksimal \(1\) kelereng. Teman kelereng dari sebuah satuan persegi adalah koleksi dari seluruh kelereng yang terletak di satu baris atau satu kolom dengannya dan kelereng yang berada di satuan persegi tersebut juga termasuk dalam Teman kelereng. Tentukan banyak kelereng minimum yang diperlukan agar tiap kelereng memiliki Teman kelereng yang berbeda.
No. 14
Diberikan segitiga \(ABC\) di mana \(AB < AC\) dengan keliling \(ABC\) sama dengan tujuh kali panjang \(BC\). Lingkaran dalam segitiga \(ABC\) menyinggung \(BC\) di \(E\). Misalkan \(DE\) adalah diameter dari lingkaran dalam \(ABC\). Garis \(DE\) memotong garis \(A\)-median di \(F\). Jika nilai dari \(\frac{DF}{FE}\) dinyatakan sebagai pecahan sederhana \(\frac{m}{n}\), tentukan nilai dari \(10m+n\).
\(\textbf{Catatan:}\) garis \(A\)-median adalah garis yang melalui \(A\) dan titik tengah \(BC\).
No. 15
Tentukan perkalian dari seluruh bilangan asli \(a\) sehingga \(2^n-n^2\) habis membagi \(a^n-n^a\) untuk seluruh bilangan bulat \(n \ge 2025\).
No. 16
Misalkan \(K\) adalah konstanta real positif terbesar sehingga memenuhi
\[ a^2+b^2+c^2 \geqslant K \sqrt[3]{abc}\cdot \text{median}\{a,b,c\} .\]
untuk seluruh bilangan real positif \(a,b,c\), di mana \(\text{median}\{a,b,c\}\) menyatakan median dari \(a,b,c\). Apabila \(t\) adalah bilangan asli terkecil sehingga \(K^t\) adalah bilangan rasional, dan \(K^t\) berbentuk pecahan sederhana
\[K^t = \frac{p^x q^y }{r^z }\]
untuk bilangan prima berbeda \(p,q,r\) dan bilangan asli \(x,y,z\), tentukan nilai dari
\[t+p+q+r+x+y+z.\]