No. 1
Misalkan \(a\) dan \(b\) adalah bilangan real taknol sehingga
\[ab + \sqrt{a^2 + b^2} = a + b.\]
Tentukan nilai maksimal yang mungkin dari \(\lceil (a-2)(b-2) \rceil\).
No. 2
Tentukan bilangan asli tiga digit terbesar sehingga hasil kali digit-digitnya sama dengan tiga kali jumlah digit-digitnya.
No. 3
Diberikan segitiga sama sisi \(ABC\) dengan panjang sisi \(2\). Titik \(M\) dan \(N\) berturut-turut adalah titik tengah dari sisi \(AB\) dan \(AC\). Perpanjangan \(MN\) memotong lingkaran luar segitiga \(ABC\) di \(P\) sehingga \(N\) berada di antara \(M\) dan \(P\). Jika panjang \(NP\) sama dengan \(\frac{\sqrt{x}-y}{z}\) di mana \(x,y,z\) adalah bilangan asli dan \(x\) tidak memiliki pembagi kuadrat sempurna selain \(1\), tentukan nilai dari \(x+y+z\).
No. 4
Tentukan banyaknya digit \(0\) berurutan di akhir representasi desimal
\[ \frac{2020! \cdot 2021! \cdot 2022! \cdot 2023! \cdot 2024!}{2025!} .\]
No. 5
Tentukan banyaknya himpunan bagian tak kosong \(S\) dari \(\{1,2,3,\ldots,10\}\) sehingga hasil kali seluruh elemen dari \(S\) habis dibagi \(10\).
No. 6
Jika dua digit terakhir dalam representasi desimal \(67^{67^{67}}\) adalah \(\overline{ab}\), tentukan nilai dari \(6a+7b\).
No. 7
Diberikan \(\triangle ABC\) dengan \(AB < AC\). Titik \(D\) dan \(E\) berada pada lingkaran luar \(\triangle ABC\) sehingga \(AD\) dan \(DE\) berturut-turut adalah garis bagi \(\angle BAC\) dan \(\angle BDC\). Misalkan titik \(F\) merupakan perpotongan antara \(AC\) dengan \(DE\) dan \(G\) merupakan titik pada lingkaran luar \(ABC\) sehingga \(BG\) adalah garis bagi \(\angle ABF\). Jika panjang \(BG=14\) dan \(CD=8\), tentukan kuadrat dari panjang jari-jari lingkaran luar \(\triangle ABC\).
No. 8
Tentukan konstanta bilangan bulat terbesar \(C\) sehingga untuk seluruh polinomial \(P(x) = x^3 + ax^2 + bx- 8\) yang memiliki \(3\) akar real, di mana mereka \(\mathbf{tidak}\) harus berbeda, maka \(a^2 > 2b+C\).
No. 9
Tentukan banyaknya 7-tuple terurut \((a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)\) yang memenuhi ketiga syarat di bawah ini:
\(0\le a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7\le 12\),
\(\max(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)< \min(a_6,a_7)\),
\(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7\) merupakan bilangan bulat yang saling berbeda.
No. 10
Diberikan barisan polinomial \(P_1(x), P_2(x),P_3(x),\ldots\) yang merupakan barisan polinomial sedemikian sehingga
\[P_n(x) = x^n + x^{n-1} + \cdots + x + 1\]
untuk setiap bilangan asli \(n\). Tentukan banyaknya bilangan asli \(m\leqslant 2025\) sehingga \(P_m(x) = 0\) punya setidaknya satu akar bilangan real.
No. 11
Tentukan bilangan asli tiga digit yang ketika dikuadratkan, nilainya berbentuk \(2025k+1\) untuk suatu bilangan bulat \(k\).
No. 12
Diberikan persegi \(ABCD\) dengan suatu titik \(P\) di dalamnya sehingga \(BP: CP: DP = \sqrt{3} : \sqrt{3} - 1 : \sqrt{5-2\sqrt{3}}\). Jika \(\angle{APB}\) lancip, tentukan besar \(\angle{APB}\) dalam satuan derajat.
No. 13
Diberikan segiempat siklis \(ABCD\) di mana \(E\) adalah perpotongan \(AC\) dan \(BD\). Titik \(P\) dan \(Q\) adalah titik pada \(AC\) sehingga titik-titik \(A, E, Q, P, C\) segaris dengan urutan tersebut sehingga \(BP\) dan \(DQ\) berturut-turut adalah garis bagi \(\angle ABC\) dan \(\angle ADC\). Jika \(AE = 4\), \(EQ = 2\), dan \(QP = 3\), tentukan panjang \(PC\).
No. 14
Untuk setiap bilangan real \(\alpha\), definisikan \(\|\alpha\|\) sebagai selisih dari \(\alpha\) dengan bilangan bulat terdekat dengan \(\alpha\). Misalkan \(C\) adalah bilangan real terbesar sehingga terdapat barisan geometri \(a_1,a_2,a_3,\ldots\) dengan rasio \(2024\) dan memenuhi
\[ \|a_n\|\ge C \]
untuk seluruh bilangan asli \(n\). Jika \(C\) dapat dinyatakan dalam bentuk \(\dfrac{a}{b}\) di mana \(a\) dan \(b\) adalah bilangan asli dengan \(\text{FPB}(a,b)=1\), tentukan nilai dari \(|a-b|\).
No. 15
Terdapat \(1234\) peserta di suatu kompetisi, dan setiap peserta bersalaman dengan tepat \(137\) peserta lainnya. Diketahui tidak ada tiga peserta yang saling pernah berjabat tangan satu sama lain. Diketahui bahwa untuk dua peserta berbeda \(A\) dan \(B\) yang tidak bersalaman, terdapat tepat \(k\) peserta yang bersalaman dengan \(A\) dan \(B\). Tentukan nilai dari \(k\).
No. 16
Tentukan bilangan asli \(n\) terbesar sehingga untuk seluruh bilangan asli \(a,b,c,d\), misalkan \(S(a,b,c,d)\) adalah perkalian kelima belas jumlah elemen dari himpunan tak-kosong dari \(\{a,b,c,d\}\), yakni
\[S(a,b,c,d) = abcd(a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(c+d)\]
\[(a+b+c)(a+b+d)(a+c+d)(b+c+d)(a+b+c+d) \]
Tentukan bilangan asli \(n\) terbesar sehingga \(S(a,b,c,d)\) merupakan kelipatan \(n\) untuk seluruh bilangan asli \(a,b,c,d\).